Fractal

 

La géométrie fractale, dont les concepts de base ont été établis par le Professeur B.B. MANDELBROT en 1982, a pour but d'étudier des objets dont la forme est très perturbée à toutes les échelles.

Elle était considérée avant cette date comme faisant partie des "monstres mathématiques" (ensemble de Cantor, courbes de Koch, de Peano, fonction de Weierstrass-Mandelbrot, ...), que les physiciens avaient écarté comme modèle descriptifs.

Le courant s'est inversé ces dernières années, les chercheurs se proposant d'expliquer une certaine partie de la physique à l'aide de la géométrie fractale.

Cette orientation est contenue dans les deux constations suivantes :

  • en mécanique, en mécanique du contact, en automatique, la plupart des lois de comportement présentent un exposant non entier dont l'origine ne peut être donnée par les lois "linéaires" classiques,

  • les mécanismes de transferts d'énergie aux interfaces par voies électrochimique ou mécanique (frottement, usure, ...) laissent des stigmates (piqûres, troisième corps) dont les contours sont perturbés à toutes les échelles d'observation.

La notion d'auto-similarité ou d'auto-affinité, à la base du concept fractal, permet d'expliquer ces types de comportement. Ce concept permet d'appréhender, en particulier, les phénomènes non linéaires que l'on rencontre en élasticité, en viscoélasticité, en électrochimie, en automatisme.

L'outil de base est la dérivée non entière d'ordre a (0 < a < 1) appelée dérivation fractionnaire.

Cet outil est particulièrement intéressant pour l'étude des phénomènes périodiques où des relations simples faisant appel à la transformation de Fourier ou à la transformation de Laplace sont licites.

Logiciels permettant de qualifier :

  • la dimension de perturbation,
  • la dimension extérieure (ou intérieure),
  • la dimension de contour,
  • la dimension d'espace complémentaire,

Et ce, aussi bien sur profils (rugosimétrie 2D), surfaces (rugosimétrie 3D) que sur des dispersions planaires de phases (analyse d'images) ou des surfaces de rupture.

Outils de base pour la modélisation :

  • la dérivation fractionnaire (dérivation d'ordre non entier).

Applications :

  • hiérarchisation des matériaux en fonction de leur aptitude à la glisse,

  • approche prévisionnelle de l'adhérence des pneumatiques sur chaussées,

  • qualification des figures de corrosion, des débris d'usure,

  • modélisation de la viscoélasticité non linéaire,

  • recherche d'invariants en traitement de signal et en analyse d'images pour la définition de paramètres pertinents en balistique et en analyse vocale.